对于证据E，由用户根据观测 $S$ 给出 $P (E | S)$ ，即动态强度。由于主观给定 $P (E | S)$ 有所困难，所以实际中可以用可信度 $C (E | S)$ 代替 $P (E | S)$ 。例如在PROSPECTOR中 $C (E | S)$ 取整数： ${- 5, . . ., 5}$ 。

$C (E | S) = - 5$ 对应于 $P (E | S) = 0$

$C (E | S) = 5$ 对应于 $P (E | S) = 1$

$C (E | S) = 0$ 对应于 $P (E | S) = P (E)$

给定 $C (E | S)$ 后，P $(E | S)$ 计算如下：

P (E | S) = {\begin{cases} \frac{P (E) \times (C (E | S) + 5)}{5}, - 5 \leq C (E | S) \leq 0 \\ \frac{C (E | S) + P (E) \times (5 - C (E | S))}{5}, 0 < C (E | S) \leq 5 \end{cases}

证据并不一定能确定它就一定或一直能支持结论，所以要引入可信度来表示它到底能有多大概率支持。

组合证据不确定性的算法

合取取最小；析取取最大

当组合证据是多个单一证据的合取时，即

E = E_{1} \land E_{2} \land . . . \land E_{n}

整个组合证据的确定性取决于其中最小的一个：

P (E | S) = m i n {P (E_{1} | S), P (E_{2} | S), \dots, P (E_{n} | S)}

因为短板效应，一旦有一个无法支持结论，整个组合证据就不能支持结论。

当组合证据是多个单一证据的析取时，即

E = E_{1} \lor E_{2} \lor . . . \lor E_{n}

取概率最大的子证据的概率：

P (E | S) = m a x {P (E_{1} | S), P (E_{2} | S), \dots, P (E_{n} | S)}

因为一旦有一个支持，整体就支持，除了最大概率的那个其他都没意义。

对于 $\neg$ 运算则：

P (\neg E | S) = 1 - P (E | S)

不确定性的传递算法

主观Bayes方法推理的任务就是根据证据 $E$ 的条件概率 $P (E | S)$ 及 $L S$ 、 $L N$ 的值，把 $H$ 的先验概率 $P (H)$ 更新为后验概率 $P (H | S)$ 。

确定后验概率的方法随着证据肯定存在，肯定不存在，或者不确定而有所不同。

证据E肯定存在

也就是 $P (E | S) = 1$ 时，来计算 $P (H | E)$ 。

由Bayes公式：

\begin{matrix} (1) & P (H | E) = P (E | H) \times \frac{P (H)}{P (E)} \\ (2) & P (\neg H | E) = P (E | \neg H) \times \frac{P (\neg H)}{P (E)} \end{matrix}

两式相除：

\frac{P (H | E)}{P (\neg H | E)} = \frac{P (E | H)}{P (E | \neg H)} \times \frac{P (H)}{P (\neg H)}

几率函数

Θ (x) = \frac{P (x)}{1 - P (x)}

Θ (H | E) = \frac{P (H | E)}{1 - P (H | E)}

L S = \frac{P (E | H)}{P (E | \neg H)}

Θ (H) = \frac{P (H)}{1 - P (H)}

Θ (H | E) = L S \cdot Θ (H)

我一开始没看出 $Θ (H | E) = L S \cdot Θ (H)$ 是怎么来的，后来想起有公式：

$P (H | E) = \frac{P (E | H) \cdot P (H)}{P (E)}$ ，用它把 $Θ (H | E)$ 中的 $H | E$ 都换成 $E | H$ ，之后就好算了。

\begin{matrix} (EH公式) & P (H | E) = \frac{L S \times P (H)}{(L S - 1) \times P (H) + 1} \end{matrix}

充分性度量 $L S$ 的意义：

当 $L S > 1$ 时， $Θ (H | E) = L S \times Θ (H) > Θ (H)$ 表明由于证据 $E$ 的存在，增强了 $H$ 为真的程度。

当 $L S = 1$ 时， $Θ (H | E) = L S \times Θ (H) = Θ (H)$ 表明 $E$ 与 $H$ 无关。

当 $L S < 1$ 时， $Θ (H | E) = L S \times Θ (H) < Θ (H)$ 表明由于证据 $E$ 的存在，减小了 $H$ 为真的程度。

当 $L S = 0$ 时， $Θ (H | E) = L S \times Θ (H) = 0$ 表明由于证据 $E$ 的存在，导致 $H$ 为假。

证据E肯定不存在

$P (E | S) = 0$ 时，证据肯定不存在。要计算 $P (H | \neg E)$ ：

由 Bayes 公式得：

\begin{matrix} (1) & P (H | \neg E) = \frac{P (\neg E | H) \times P (H)}{P (\neg E)} \\ (2) & P (\neg H | \neg E) = \frac{P (\neg E | \neg H) \times P (\neg H)}{P (\neg E)} \end{matrix}

两式相除：

\frac{P (H | \neg E)}{P (\neg H | \neg E)} = \frac{P (\neg E | H)}{P (\neg E | \neg H)} \times \frac{P (H)}{P (\neg H)}

Θ (H | \neg E) = L N \cdot Θ (H)

即

P (H | \neg E) = \frac{LN \times P (H)}{(LN - 1) \times P (H) + 1}

必要性度量 $L N$ 的意义：

当 $LN > 1$ 时， $Θ (H | \neg E) = LN \times Θ (H) > Θ (H)$ ，表明由于证据 $E$ 不存在，增强了 $H$ 为真的程度。

当 $LN = 1$ 时， $Θ (H | \neg E) = LN \times Θ (H) = Θ (H)$ ，表明 $E$ 与 $H$ 无关。

当 $LN < 1$ 时， $Θ (H | \neg E) = LN \times Θ (H) < Θ (H)$ ，表明由于证据 $E$ 不存在，减小了 $H$ 为真的程度。

当 $LN = 0$ 时， $Θ (H | \neg E) = LN \times Θ (H) = 0$ ，表明由于证据 $E$ 不存在，导致 $H$ 为假。

注意

由于 $E$ 和 $\neg E$ 不可能同时支持 $H$ 或同时反对 $H$ ，所以在一条知识中的 $LS$ 和 $LN$ 不应该出现如下情况：

$LS > 1, LN > 1$

$LS < 1, LN < 1$

在实际应用中通常取 $LS > 1, LN < 1$ 。

证据E不确定存不存在

$0 < P (E | S) < 1$ 时，证据不一定存在。

后验概率：

P (H | S) = P (H | E) \times P (E | S) + P (H | \neg E) \times P (\neg E | S)

当 $P (E | S) = 1$ 时， $P (H | S) = P (H | E)$ 。

当 $P (E | S) = 0$ 时， $P (H | S) = P (H | \neg E)$ 。

当 $P (E | S) = P (E)$ 时，

P (H | S) = P (H | E) \times P (E) + P (H | \neg E) \times P (\neg E) = P (H)

当 $P (E | S)$ 为其它值时，通过分段线性插值计算 $P (H | S)$ ：

P (H | S) = {\begin{cases} P (H | \neg E) + \frac{P (H) - P (H | \neg E)}{P (E)} \times P (E | S), & 0 \leq P (E | S) < P (E) \\ P (H) + \frac{P (H | E) - P (H)}{1 - P (E)} \times [P (E | S) - P (E)], & P (E) \leq P (E | S) \leq 1 \end{cases}

在 PROSPECTOR 中，由于 $C (E | S)$ 和 $P (E | S)$ 遵从如下关系：

P (E | S) = {\begin{cases} \frac{P (E) \times (C (E | S) + 5)}{5}, & - 5 \leq C (E | S) \leq 0 \\ \frac{C (E | S) + P (E) \times (5 - C (E | S))}{5}, & 0 \leq C (E | S) \leq 5 \end{cases}

PROSPECTOR是一种基于贝叶斯方法的专家系统，主要用于地质勘探和资源评估。

在这里边 $C (E | S)$ 和 $P (E | S)$ 都是定死的，公式背下来即可。

将 $P (E | S)$ 代入上式得：

P (H | S) = {\begin{cases} P (H | \neg E) + [P (H) - P (H | \neg E)] \times \frac{C (E | S) + 5}{5}, & - 5 \leq C (E | S) \leq 0 \\ P (H) + [P (H | E) - P (H))] \times \frac{C (E | S)}{5}, & 0 < C (E | S) \leq 5 \end{cases}

结论不确定性的合成算法

若有 $n$ 条知识都支持相同的结论 $H$ ，而且每条知识的前提条件所对应的证据 $E_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 都有相应的观察 $S_{i}$ 与之对应（ $E$ 由很多 $S_{i}$ 组合而成），此时只要先对每条知识分别求出 $Θ (H | S_{i})$ ，然后运用下述公式求出 $Θ (H | S_{1} S_{2} \dots S_{n})$ ：

Θ (H | S_{1} S_{2} \dots S_{n}) = \frac{Θ (H | S_{1})}{Θ (H)} \times \frac{Θ (H | S_{2})}{Θ (H)} \times \dots \times \frac{Θ (H | S_{n})}{Θ (H)} \times Θ (H)

主观Bayes方法的特点

优点：

知识的静态强度 $L S$ 及 $L N$ 是由领域专家给出，避免了大量的数据统计工作。 $L S$ 和 $L N$ 比较全面的反映了证据与结论间的因果关系，使推出的结论有较准确的确定性。

主观Bayes方法不仅给出了证据肯定存在、肯定不存在时更新后验概率的方法，还给出了证据不确定时的方法，实现了不确定性的逐级传递。

缺点：

n它要求领域专家在给出知识时，同时给出先验概率 $P (H)$ 及 $P (E)$ ，这比较困难。

不确定性的传递过程

假设我们试图诊断一个病人是否患有某种疾病（例如肺炎），并且我们知道以下因素可能影响诊断结果：

症状（ $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ）：咳嗽（Cough）、发热（Fever）和呼吸急促（Shortness of Breath）

检验结果（T）：医学影像检查异常（如胸部X光）

疾病（D）：是否患有肺炎

设定每个变量的先验概率。例如，病人是否患肺炎 $P (D)$ ，可以基于流行病学数据得到。

各症状的先验概率 $P (S 1)$ ， $P (S_{2})$ ， $P (S_{3})$ ，也可以根据历史病例统计得出。

此时 $P (S_{1} | D)$ ， $P (S_{2} | D)$ ， $P (S_{3} | D)$ 为肺炎患者表现出咳嗽、发热和呼吸急促的概率。

$P (T | D)$ 是肺炎患者在医学影像检查中拿到异常结果的概率。

在收集数据的过程中，医生对病人的症状进行观察，收集到咳嗽、发热和呼吸急促等症状。

观察到这些症状后，医生可以使用贝叶斯定理更新对肺炎的后验概率：

P (D | S_{1}, S_{2}, S_{3})

如果进一步进行胸部X光检查，并获得结果 $T$ ，可以再一次使用贝叶斯定理更新对肺炎的诊断：

P (D | S_{1}, S_{2}, S_{3}, T) \propto P (S_{1} | D) P (S_{2} | D) P (S_{3} | D) P (T | D) P (D)

不确定性在不同变量之间逐级传递。症状的不确定性影响到疾病的诊断，而检查结果又进一步影响到对疾病的确认。

例题

设有如下知识：

\begin{matrix} r_{1} : I F E_{1} T H E N (2, 0.001) H_{1} \\ r_{2} : I F E_{2} T H E N (100, 0.001) H_{1} \\ r_{3} : I F H_{1} T H E N (200, 0.001) H_{2} \end{matrix}

已知：

\begin{matrix} P (H_{1}) = 0.09, P (H_{2}) = 0.01 \\ C (E_{1} | S_{1}) = 2, C (E_{2} | S_{2}) = 1 \end{matrix}

求：

P (H_{2} | S_{1}, S_{2})

利用结合不确定合成求解

可见，证据 $E$ 需要观测 $S$ 的支持，而结论 $H$ 需要证据 $E$ 支持。

需要先用 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 求出 $P (H_{1} | S_{1}, S_{2})$ ，再根据 $r_{3}$ 求出结果。

要求出 $P (H_{1} | S_{1}, S_{2})$ ，就要先求 $P (H_{1} | S_{1})$ 和 $P (H_{1} | S_{2})$ 。

先算 $P (H_{1} | S_{1})$ ：

根据

P (H | E) = \frac{L S \times P (H)}{(L S - 1) \times P (H) + 1}

得

P (H_{1} | E_{1}) = \frac{L S_{1} \times P (H_{1})}{(L S_{1} - 1) \times P (H_{1}) + 1} = \frac{2 \times 0.09}{(2 - 1) \times 0.09 + 1} = 0.17

再使用 $C P$ 公式：

P (H | S) = {\begin{cases} P (H | \neg E) + [P (H) - P (H | \neg E)] \times \frac{C (E | S) + 5}{5}, & - 5 \leq C (E | S) \leq 0 \\ P (H) + [P (H | E) - P (H))] \times \frac{C (E | S)}{5}, & 0 < C (E | S) \leq 5 \end{cases}

因为 $C (E_{1} | S_{1}) = 2 > 0$ ，

P (H_{1} | S_{1}) = P (H_{1} | E_{1}) + [P (H_{1} | E_{1}) - P (H_{1}))] \times \frac{C (E_{1} | S_{1})}{5}

= 0.09 + [0.17 - 0.09] \times \frac{2}{5} = 0.122

最后合成时要用这个公式：

Θ (H | S_{1} S_{2} \dots S_{n}) = \frac{Θ (H | S_{1})}{Θ (H)} \times \frac{Θ (H | S_{2})}{Θ (H)} \times \dots \times \frac{Θ (H | S_{n})}{Θ (H)} \times Θ (H)

所以要求出 $Θ (H_{1} | S_{1})$ ：

Θ (H_{1} | S_{1}) = \frac{P (H_{1} | S_{1})}{1 - P (H_{1} | S_{1})} = \frac{0.122}{1 - 0.122} = 0.14

对于 $Θ (H_{1} | S_{2})$ 同理可得：

Θ (H_{1} | S_{2}) = 0.34

根据合成规则算 $Θ (H_{1} | S_{1}, S_{2})$ ：

Θ (H_{1}) = \frac{P (H_{1})}{1 - P (H_{1})} = \frac{0.09}{1 - 0.09} = 0.1

Θ (H_{1} | S_{1}, S_{2}) = \frac{Θ (H_{1} | S_{1})}{Θ (H_{1})} \times \frac{Θ (H_{1} | S_{2})}{Θ (H_{1})} \times Θ (H_{1})

= \frac{0.14}{0.1} \times \frac{0.34}{0.1} \times 0.1 = 0.476

P (H_{1} | S_{1}, S_{2}) = \frac{Θ (H_{1} | S_{1}, S_{2})}{1 + Θ (H_{1} | S_{1}, S_{2})} = 0.322

现在算 $P (H_{2} | S_{1}, S_{2})$ ：

使用 $E H$ 公式：

P (H | E) = \frac{L S \times P (H)}{(L S - 1) \times P (H) + 1}

P (H_{2} | H_{1}) = \frac{L S_{3} \times P (H_{2})}{(L S_{3} - 1) \times P (H_{2}) + 1}

= \frac{200 \times 0.01}{(200 - 1) \times 0.01 + 1} = 0.67

这是直接把 $H_{1}$ 当 $E$ 用了。

P (H_{2} | S_{1}, S_{2}) = P (H_{2}) + \frac{P (H_{1} | S_{1}, S_{2}) - P (H_{1})}{1 - P (H_{1})} \times [P (H_{2} | H_{1}) - P (H_{2})]

0.01 + \frac{0.322 - 0.09}{1 - 0.01} \times (0.67 - 0.01) = 0.165

这个公式推导过程如下：

首先根据贝叶斯公式，

P (H_{2} | S_{1}, S_{2}) = \frac{P (S_{1}, S_{2} | H_{2}) P (H_{2})}{P (S_{1}, S_{2})}

分解 $P (H_{2} | S_{1}, S_{2})$ ：

P (H_{2} | S_{1}, S_{2}) = P (H_{2}) + Δ P

$Δ P$ 表示概率修正，反映了 $H_{2}$ 在给定 $H_{1}$ 和 $S_{1}, S_{2}$ 下额外的信息增益。

我不知道更深入的需不需要学，这一块先搁置。

可信度方法

概念

n根据经验对一个事物和现象为真的相信程度称为可信度。

n可信度带有较大的主观性和经验性，其准确性难以把握。但人工智能面向的多是结构不良的复杂问题，难以给出精确的数学模型，先验概率及条件概率的确定又比较困难。所以可信度方法是一种比较实用的方法。

知识表示

知识用产生式规则表示：

I F E T H E N H (C F (H, E))

其中 $C F (H, E)$ 是该知识的可信度。称为可信度因子或规则强度，即静态强度。一般 $C F (H, E) \in [- 1, 1]$ 。

证据不确定性表示

证据的不确定性用可信度因子 $C F$ 表示： $C F (E) \in [- 1, 1]$

$C F (E)$ 表示证据的强度，即动态强度； $C F (H, E)$ 表示知识的强度，即静态强度。

证据的强度通常是基于当前信息的质量和数量。当新的信息或观测数据出现时，证据的强度可以变化。例如，在医疗诊断中，随着新的症状被观察到，或新的检查结果被获得，关于病人是否患某种疾病的证据强度会发生改变。

知识被视为某种信念或真理的集合，是一种真理。通常是建立在经过验证的经验、理论或逻辑推理之上的。知识一旦被确立，就相对固定，虽然它可能在之后被更新或修正，但在某个特定时间点上，知识的强度是稳定的。

不确定性的传递算法

结论 $H$ 的可信度为：

C F (H) = C F (H, E) \times m a x {0, C F (E)}

可信度最低为0。

带阈值限度的可信度模型

知识表示

I F E T H E N H (C F (H, E), λ)

其中 $C F (H, E)$ 是可信度，范围 $[0, 1]$ 。

$λ$ 是阈值，明确规定了知识运用的条件：只有当 $C F (E) \geq λ$ 时，该知识才能够被应用。 $λ$ 的取值范围为 $[0, 1]$ 。

证据不确定性表示

证据E的可信度仍为 $C F (E)$ ，但其取值范围为： $[0, 1]$ ，因为如果 $C F (H, E)$ 在 $[0, 1]$ 之间，则 $C F (H, E)$ 不会超出 $[0, 1]$ 。

不确定性传递算法

当 $C F (E) \geq λ$ 时，

C F (H) = C F (H, E) \times C F (E)

$C F (H, E)$ 表示证据 $E$ 为真的条件下结论 $H$ 为真的可能性。

结论不确定性的合成算法

设有多条规则有相同的结论，即

\begin{matrix} I F E_{1} T H E N H (C F (H, E_{1}), λ_{1}) \\ I F E_{2} T H E N H (C F (H, E_{2}), λ_{2}) \\ . . . \\ I F E_{n} T H E N H (C F (H, E_{n}), λ_{n}) \end{matrix}

如果这 $n$ 条规则都满足： $C F (E_{i}) \geq λ_{i}$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ 且都被启用，则首先分别对每条知识规则求出 $C F_{i} (H)$ ；然后求结论 $H$ 的综合可信度 $C F (H)$ 。

可采用如下极大值法：

C F (H) = max {C F_{1} (H), C F_{2} (H), \dots, C F_{n} (H)}

证据理论

概念

在证据理论中，分别用概率分配函数、信任函数、似然函数和类概率来描述和处理知识的不确定性。

概率分配函数

定义

$D$ 为假设空间（其中元素互斥，任意时刻 $x$ 都只能取其中一个值），设函数 $M : 2^{D} \to [0, 1]$ ，且满足：

M (\emptyset) = 0 \sum_{A \subseteq D} M (A) = 1

$D$ 内所有样本点 $A$ 的概率函数值之和为1。

$D$ 的任何一个子集 $A$ 都对应于一个关于 $x$ 的命题，该命题为： $x$ 的值在 $A$ 中。

则称 $M$ 为 $2^{D}$ 上的概率分配函数， $M (A)$ 称为 $A$ 的基本概率数。

(1) $M (A)$ 表示证据对 $D$ 的子集 $A$ 成立的一种可信任度量。

(2) 概率分配函数不是概率。

例

$x$ 是所看到的颜色， $D = {红，黄，蓝}$

则 $A = {红}$ 的意思是 $x$ 是红色。 $A = {红，蓝}$ 的意思是 $x$ 是红色或蓝色。

$M ({红，蓝}) = 0.2$ 表示对 $x$ 为红色或蓝色的信任程度为0.2，但是不知具体如何分配。

Obviously， $M ({红}) + M ({黄}) + M ({蓝}) + M ({红，黄}) + M ({红，蓝}) + M ({蓝，黄}) + M ({红，黄，蓝}) + M (\emptyset) = 1$ ，因为 $x$ 的取值必须是其中一种，不可能有别的。

信任函数

定义：命题的信任函数 $B e l : 2^{D} \to [0, 1]$ ，对所有的 $A \subseteq D$ 有：

B e l (A) = \sum_{B \subseteq A} M (B)

(1) 命题 $A$ 的信任函数的值，是 $A$ 的所有子集的基本概率分配函数值的和，用来表示对 $A$ 的总的信任。

(2) $B e l$ 函数又称为下限函数。

(3) $B e l (\emptyset) = M (\emptyset) = 0$ ， $B e l (D) = \sum_{B \subseteq D} M (B) = 1$

例

B e l ({红 ， 黄}) = M ({红}) + M ({黄}) + M ({红 ， 黄}) + M (\emptyset)

似然函数

定义：似然函数 $P_{l} : 2^{D} \to [0, 1]$ ，且

P_{l} (A) = 1 - B e l (\neg A), A \subseteq D

(1) $B e l (A)$ 表示对 $A$ 为真的信任度，则 $B e l (\neg A)$ 表示对 $A$ 为假的信任度，所以 $P_{l} (A)$ 表示对 $A$ 非假的信任度，它又称为上限函数。

(2) $P_{l} (A) = 1 - B e l (\neg A) = \sum_{A \cap B \neq \emptyset} M (B)$

$M (B)$ 指的是对 $B$ 的信任程度， $A$ 与 $B$ 有交集这件事代表事件 $B$ 在某种程度上与 $A$ 相关。既然要得到 $A$ 的总似然性，就要累加所有和 $A$ 有关的 $B$ 。

(3) $0 \leq B e l (A) \leq P_{l} (A) \leq 1$

(4) $P_{l} (A) - B e l (A)$ : 表示既不信任 $A$ ，也不信任 $\neg A$ 的一种度量。

B e l (A) + B e l (\neg A) + P l (A) - B e l (A) = 1

注意

是可以既不信任 $A$ ，也不信任 $\neg A$ 的。比如一件我闻所未闻的事就不能臆断其有无。

例

p_{l} ({蓝}) = 1 - B e l (\neg {蓝}) = 1 - B e l ({红, 黄}) = 1 - 0.5 = 0.5

概率分配函数的正交和

在实际问题中，根据不同的证据，可以得到多个不同的概率分配函数，为此需要对他们进行合成。设 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 是两个概率分配函数，则其正交和 $M = M_{1} \oplus M_{2}$ 定义为：

M (\emptyset) = 0, M (A) = K \times \sum_{X \cap Y = A} M_{1} (X) \times M_{2} (Y)

其中 $X, Y, A$ 是 $D$ 的子集，并且：

K^{- 1} = 1 - \sum_{X \cap Y = \emptyset} M_{1} (X) \times M_{2} (Y)

= \sum_{X \cap Y = \emptyset} M_{1} (X) \times M_{2} (Y)

例

设 $D = {a, b}$ ，且

M_{1} ({a}, {b}, {a, b}, \emptyset) = (0.3, 0.5, 0.2, 0)

M_{2} ({a}, {b}, {a, b}, \emptyset) = (0.6, 0.3, 0.1, 0)

求正交和 $M = M_{1} \oplus M_{2}$ 。

解

首先求 $K$ ：

K^{- 1} = 1 - \sum_{X \cap Y = \emptyset} M_{1} (X) M_{2} (Y)

= 1 - (M_{1} ({a}) M_{2} ({b}) + M_{1} ({b}) M_{2} ({a}))

= 1 - (0.3 \times 0.5 + 0.5 \times 0.3) = 0.61

K = \frac{1}{0.61}

然后求 $M ({a}, {b}, {a, b}, \emptyset)$ ，为此，分别求出 $M ({a})$ , $M ({b})$ , $M ({a, b})$ 即可：

M ({a}) = K \times \sum_{X \cap Y = {a}} M_{1} (X) M_{2} (Y)

= \frac{1}{0.61} (M_{1} ({a}) M_{2} ({a}) + M_{1} ({a}) M_{2} ({a, b}) + M_{1} ({a, b}) M_{2} ({a}))

= \frac{1}{0.61} \times (0.3 \times 0.6 + 0.3 \times 0.1 + 0.2 \times 0.6) = 0.54

同理可求得： $M ({b}) = 0.43$ , $M ({a, b}) = 0.03$

故有：正交和 $M = M_{1} \oplus M_{2} = M ({a}, {b}, {a, b}, \emptyset) = (0.54, 0.43, 0.03, 0)$

证据理论的不确定性推理模型

在证据理论中，信任函数 $B e l (A)$ 和似然函数 $P_{l} (A)$ 分别表示对命题 $A$ 信任度的下界和上界，因此可以用区间 $(B e l (A), P l (A))$ 作为命题 $A$ 的不确定性度量：

$A (0, 0) :$ 表示 $A$ 为假（ $A$ 为真的信任度是0， $A$ 为假的信任度是 $1 - 0 = 1$ ）

$A (0, 1) :$ 表示对 $A$ 无所知（ $A$ 为真的信任度是0， $A$ 为假的信任度也是 $1 - 1 = 0$ ）

$A (1, 1) :$ 表示 $A$ 为真（ $A$ 为真的信任度是1， $A$ 为假的信任度是 $1 - 1 = 0$ ）

$A (0.25, 0.85) :$ 表示 $A$ 为真的信任度为 0.25， $A$ 为假的信任度为 $1 - 0.85 = 0.15$

信任函数和似然函数都是建立在概率分配函数 $M (A)$ 的基础上的。下面给出一种特殊的概率分配函数，并在此基础上建立一个具体的不确定性推理模型。

概率分配函数

定义：设 $D = {s_{1}, s_{2}, \dots, s_{m}}$ ， $M$ 为定义在 $2^{D}$ 上的概率分配函数，且满足：

（1） $M ({s_{i}}) \geq 0$

（2） $\sum M ({s_{i}}) \leq 1$ ，所有单个元素的概率分配函数值之和可以不为1

（3） $M (D) = 1 - \sum M ({s_{i}})$

（4）对于任意 $A \subset D$ ，当 $| A | > 1$ 或 $| A | = 0$ 时， $M (A) = 0$ ，就是说只有 $| A | = 1$ 时 $M (A)$ 才可能不为0。

这是一个特殊的概率分配函数，只有单个元素构成的子集及样本空间 $D$ 的概率分配函数才可能大于 0，其它子集的概率分配均为 0。

类概率函数

命题 $A$ 的类概率函数定义为：

f (A) = B e l (A) + \frac{| A |}{| D |} \times [P_{l} (A) - B e l (A)]

类概率函数具有下列性质：

（1） $\sum f ({s_{i}}) = 1$

（2） $B e l (A) \leq f (A) \leq P_{l} (A)$

（3） $f (\neg A) = 1 - f (A)$

后续有时间写一下证明。

根据上述性质可得如下结论：

(1) $f (\emptyset) = 0$

(2) $f (D) = 1$

(3) $0 \leq f (A) \leq 1$

知识不确定性表示

在证据理论中，不确定性知识用如下产生是规则表示：

I F E T H E N H = {h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n}} C F = {c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n}}

其中： $E$ 为前提条件，可以是简单条件，也可以是复杂条件。

$H$ 是结论，用样本空间的子集 ${h_{1}, h_{2}, \dots, h_{n}}$ 表示。 $C F$ 是可信度因子， $c_{i}$ 用来指出 $h_{i}$ 的可信度， $c_{i}$ 满足如下条件：

c_{i} \geq 0 (i = 1, 2, \dots, n), \sum c_{i} \leq 1

可信度的和不能大于1。

证据不确定性表示

不确定性证据的不确定性用 $C E R (E)$ 表示，其取值范围为 $[0, 1]$ 。

组合证据不确定性表示

对于组合证据，采用最小最大法合成。即：

若 $E = E_{1} \land E_{2} \land \dots \land E_{n}$ ，则

C E R (E) = min {C E R (E_{1}), \dots, C E R (E_{n})}

若 $E = E_{1} \lor E_{2} \lor \dots \lor E_{n}$ ，则

C E R (E) = max {C E R (E_{1}), \dots, C E R (E_{n})}

不确定性传递算法

设有知识：

I F E T H E N H = {h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n}} C F = {c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n}}

则结论 $H$ 的确定性可通过下列步骤求出：

(1) 求出概率分配函数：

M ({h_{1}}, {h_{2}}, \dots, {h_{n}}) = {C E R (E) \times c_{1}, C E R (E) \times c_{2}, \dots, C E R (E) \times c_{n}}

M (D) = 1 - \sum_{i = 1}^{n} M ({h_{i}})

若两条知识支持同一结论，即

I F E_{1} T H E N H = {h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n}} C F = {c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n}}

I F E_{2} T H E N H = {h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n}} C F = {c_{1}^{'}, c_{2}^{'}, . . ., c_{n}^{'}}

则首先对每一条知识求出概率分配函数 $M 1$ 和 $M 2$ ，然后再用公式

M = M_{1} \oplus M_{2}

对 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 求正交和，从而得到合成的概率分配函数。

(2) 求出 $B e l (H)$ , $P l (H)$ , $f (H)$ ：

\begin{matrix} B e l (H) = \sum_{i = 1}^{n} M ({h_{i}}) \\ P_{l} (H) = 1 - B e l (\neg H) = M (D) + B e l (H) \\ f (H) = B e l (H) + \frac{| H |}{| D |} (P_{l} (H) - B e l (H)) = B e l (H) + \frac{| H |}{| D |} M (D) \end{matrix}

求 $H$ 的不确定性 $C E R (H)$ ：

C E R (H) = f (H)

模糊推理和非单调推理

不考，略过。

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不确定性推理

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