不确定性推理（续）

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不确定性推理（续）

模糊推理

特征函数

设 $A$ 是论域 $U$ 上的一个集合，对于任意 $u \in U$ ，令

C_{A} (u) = {\begin{matrix} 1, u \in A \\ 0, u \notin A \end{matrix}

则称 $C_{A} (u)$ 为集合 $A$ 的特征函数，集合 $A$ 与其特征函数可以认为是等价的：

A = {u | C_{A} (u) = 1}

模糊集

不考，暂时跳过。

证据理论

概念

在证据理论中，分别用概率分配函数、信任函数、似然函数和类概率来描述和处理知识的不确定性。

概率分配函数

定义

$D$ 为假设空间（其中元素互斥，任意时刻 $x$ 都只能取其中一个值），设函数 $M : 2^{D} \to [0, 1]$ ，且满足：

M (\emptyset) = 0 \sum_{A \subseteq D} M (A) = 1

$D$ 内所有样本点 $A$ 的概率函数值之和为1。

$D$ 的任何一个子集 $A$ 都对应于一个关于 $x$ 的命题，该命题为： $x$ 的值在 $A$ 中。

则称 $M$ 为 $2^{D}$ 上的概率分配函数， $M (A)$ 称为 $A$ 的基本概率数。

(1) $M (A)$ 表示证据对 $D$ 的子集 $A$ 成立的一种可信任度量。

(2) 概率分配函数不是概率。

例

$x$ 是所看到的颜色， $D = {红，黄，蓝}$

则 $A = {红}$ 的意思是 $x$ 是红色。 $A = {红，蓝}$ 的意思是 $x$ 是红色或蓝色。

$M ({红，蓝}) = 0.2$ 表示对 $x$ 为红色或蓝色的信任程度为0.2，但是不知具体如何分配。

Obviously， $M ({红}) + M ({黄}) + M ({蓝}) + M ({红，黄}) + M ({红，蓝}) + M ({蓝，黄}) + M ({红，黄，蓝}) + M (\emptyset) = 1$ ，因为 $x$ 的取值必须是其中一种，不可能有别的。

信任函数

定义：命题的信任函数 $B e l : 2^{D} \to [0, 1]$ ，对所有的 $A \subseteq D$ 有：

B e l (A) = \sum_{B \subseteq A} M (B)

(1) 命题 $A$ 的信任函数的值，是 $A$ 的所有子集的基本概率分配函数值的和，用来表示对 $A$ 的总的信任。

(2) $B e l$ 函数又称为下限函数。

(3) $B e l (\emptyset) = M (\emptyset) = 0$ ， $B e l (D) = \sum_{B \subseteq D} M (B) = 1$

例

B e l ({红 ， 黄}) = M ({红}) + M ({黄}) + M ({红 ， 黄}) + M (\emptyset)

似然函数

定义：似然函数 $P_{l} : 2^{D} \to [0, 1]$ ，且

P_{l} (A) = 1 - B e l (\neg A), A \subseteq D

(1) $B e l (A)$ 表示对 $A$ 为真的信任度，则 $B e l (\neg A)$ 表示对 $A$ 为假的信任度，所以 $P_{l} (A)$ 表示对 $A$ 非假的信任度，它又称为上限函数。

(2) $P_{l} (A) = 1 - B e l (\neg A) = \sum_{A \cap B \neq \emptyset} M (B)$

$M (B)$ 指的是对 $B$ 的信任程度， $A$ 与 $B$ 有交集这件事代表事件 $B$ 在某种程度上与 $A$ 相关。既然要得到 $A$ 的总似然性，就要累加所有和 $A$ 有关的 $B$ 。

(3) $0 \leq B e l (A) \leq P_{l} (A) \leq 1$

(4) $P_{l} (A) - B e l (A)$ : 表示既不信任 $A$ ，也不信任 $\neg A$ 的一种度量。

B e l (A) + B e l (\neg A) + P l (A) - B e l (A) = 1

注意

是可以既不信任 $A$ ，也不信任 $\neg A$ 的。比如一件我闻所未闻的事就不能臆断其有无。

例

p_{l} ({蓝}) = 1 - B e l (\neg {蓝}) = 1 - B e l ({红, 黄}) = 1 - 0.5 = 0.5

概率分配函数的正交和

在实际问题中，根据不同的证据，可以得到多个不同的概率分配函数，为此需要对他们进行合成。设 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 是两个概率分配函数，则其正交和 $M = M_{1} \oplus M_{2}$ 定义为：

M (\emptyset) = 0, M (A) = K \times \sum_{X \cap Y = A} M_{1} (X) \times M_{2} (Y)

其中 $X, Y, A$ 是 $D$ 的子集，并且：

K^{- 1} = 1 - \sum_{X \cap Y = \emptyset} M_{1} (X) \times M_{2} (Y)

= \sum_{X \cap Y = \emptyset} M_{1} (X) \times M_{2} (Y)

例

设 $D = {a, b}$ ，且

M_{1} ({a}, {b}, {a, b}, \emptyset) = (0.3, 0.5, 0.2, 0)

M_{2} ({a}, {b}, {a, b}, \emptyset) = (0.6, 0.3, 0.1, 0)

求正交和 $M = M_{1} \oplus M_{2}$ 。

解

首先求 $K$ ：

K^{- 1} = 1 - \sum_{X \cap Y = \emptyset} M_{1} (X) M_{2} (Y)

= 1 - (M_{1} ({a}) M_{2} ({b}) + M_{1} ({b}) M_{2} ({a}))

= 1 - (0.3 \times 0.5 + 0.5 \times 0.3) = 0.61

K = \frac{1}{0.61}

然后求 $M ({a}, {b}, {a, b}, \emptyset)$ ，为此，分别求出 $M ({a})$ , $M ({b})$ , $M ({a, b})$ 即可：

M ({a}) = K \times \sum_{X \cap Y = {a}} M_{1} (X) M_{2} (Y)

= \frac{1}{0.61} (M_{1} ({a}) M_{2} ({a}) + M_{1} ({a}) M_{2} ({a, b}) + M_{1} ({a, b}) M_{2} ({a}))

= \frac{1}{0.61} \times (0.3 \times 0.6 + 0.3 \times 0.1 + 0.2 \times 0.6) = 0.54

同理可求得： $M ({b}) = 0.43$ , $M ({a, b}) = 0.03$

故有：正交和 $M = M_{1} \oplus M_{2} = M ({a}, {b}, {a, b}, \emptyset) = (0.54, 0.43, 0.03, 0)$

证据理论的不确定性推理模型

在证据理论中，信任函数 $B e l (A)$ 和似然函数 $P_{l} (A)$ 分别表示对命题 $A$ 信任度的下界和上界，因此可以用区间 $(B e l (A), P l (A))$ 作为命题 $A$ 的不确定性度量：

$A (0, 0) :$ 表示 $A$ 为假（ $A$ 为真的信任度是0， $A$ 为假的信任度是 $1 - 0 = 1$ ）

$A (0, 1) :$ 表示对 $A$ 无所知（ $A$ 为真的信任度是0， $A$ 为假的信任度也是 $1 - 1 = 0$ ）

$A (1, 1) :$ 表示 $A$ 为真（ $A$ 为真的信任度是1， $A$ 为假的信任度是 $1 - 1 = 0$ ）

$A (0.25, 0.85) :$ 表示 $A$ 为真的信任度为 0.25， $A$ 为假的信任度为 $1 - 0.85 = 0.15$

信任函数和似然函数都是建立在概率分配函数 $M (A)$ 的基础上的。下面给出一种特殊的概率分配函数，并在此基础上建立一个具体的不确定性推理模型。

概率分配函数

定义：设 $D = {s_{1}, s_{2}, \dots, s_{m}}$ ， $M$ 为定义在 $2^{D}$ 上的概率分配函数，且满足：

（1） $M ({s_{i}}) \geq 0$

（2） $\sum M ({s_{i}}) \leq 1$ ，所有单个元素的概率分配函数值之和可以不为1

（3） $M (D) = 1 - \sum M ({s_{i}})$

（4）对于任意 $A \subset D$ ，当 $| A | > 1$ 或 $| A | = 0$ 时， $M (A) = 0$ ，就是说只有 $| A | = 1$ 时 $M (A)$ 才可能不为0。

这是一个特殊的概率分配函数，只有单个元素构成的子集及样本空间 $D$ 的概率分配函数才可能大于 0，其它子集的概率分配均为 0。

类概率函数

命题 $A$ 的类概率函数定义为：

f (A) = B e l (A) + \frac{| A |}{| D |} \times [P_{l} (A) - B e l (A)]

类概率函数具有下列性质：

（1） $\sum f ({s_{i}}) = 1$

（2） $B e l (A) \leq f (A) \leq P_{l} (A)$

（3） $f (\neg A) = 1 - f (A)$

后续有时间写一下证明。

根据上述性质可得如下结论：

(1) $f (\emptyset) = 0$

(2) $f (D) = 1$

(3) $0 \leq f (A) \leq 1$

知识不确定性表示

在证据理论中，不确定性知识用如下产生是规则表示：

I F E T H E N H = {h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n}} C F = {c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n}}

其中： $E$ 为前提条件，可以是简单条件，也可以是复杂条件。

$H$ 是结论，用样本空间的子集 ${h_{1}, h_{2}, \dots, h_{n}}$ 表示。 $C F$ 是可信度因子， $c_{i}$ 用来指出 $h_{i}$ 的可信度， $c_{i}$ 满足如下条件：

c_{i} \geq 0 (i = 1, 2, \dots, n), \sum c_{i} \leq 1

可信度的和不能大于1。

证据不确定性表示

不确定性证据的不确定性用 $C E R (E)$ 表示，其取值范围为 $[0, 1]$ 。

组合证据不确定性表示

对于组合证据，采用最小最大法合成。即：

若 $E = E_{1} \land E_{2} \land \dots \land E_{n}$ ，则

C E R (E) = min {C E R (E_{1}), \dots, C E R (E_{n})}

若 $E = E_{1} \lor E_{2} \lor \dots \lor E_{n}$ ，则

C E R (E) = max {C E R (E_{1}), \dots, C E R (E_{n})}

不确定性传递算法

设有知识：

I F E T H E N H = {h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n}} C F = {c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n}}

则结论 $H$ 的确定性可通过下列步骤求出：

(1) 求出概率分配函数：

M ({h_{1}}, {h_{2}}, \dots, {h_{n}}) = {C E R (E) \times c_{1}, C E R (E) \times c_{2}, \dots, C E R (E) \times c_{n}}

M (D) = 1 - \sum_{i = 1}^{n} M ({h_{i}})

若两条知识支持同一结论，即

I F E_{1} T H E N H = {h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n}} C F = {c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n}}

I F E_{2} T H E N H = {h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n}} C F = {c_{1}^{'}, c_{2}^{'}, . . ., c_{n}^{'}}

则首先对每一条知识求出概率分配函数 $M 1$ 和 $M 2$ ，然后再用公式

M = M_{1} \oplus M_{2}

对 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 求正交和，从而得到合成的概率分配函数。

(2) 求出 $B e l (H)$ , $P l (H)$ , $f (H)$ ：

\begin{matrix} B e l (H) = \sum_{i = 1}^{n} M ({h_{i}}) \\ P_{l} (H) = 1 - B e l (\neg H) = M (D) + B e l (H) \\ f (H) = B e l (H) + \frac{| H |}{| D |} (P_{l} (H) - B e l (H)) = B e l (H) + \frac{| H |}{| D |} M (D) \end{matrix}

求 $H$ 的不确定性 $C E R (H)$ ：

C E R (H) = f (H)

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